《週易》對中國古代數學的影響及其源流探析

中國古代數學自漢代《九章算術》形成體系，發展到宋元時期達到高峰，期間出現了許多重要的數學著作。漢唐時期有“算經十書”，除《九章算術》之外，還有《周髀算經》、《海島算經》、《五曹算經》、《孫子算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》、《五經算術》、《綴術》、《緝古算經》，以及《數術記遺》；宋元時期有數學四大家，包括秦九韶撰《數書九章》，李冶撰《測圓海鏡》，楊輝撰《詳解九章演算法》、《楊輝演算法》等，朱世傑撰《四元玉鑑》。宋元之後，明朝有著名數學家程大位撰《演算法統宗》，等等。雖然《週易》不算是一本專門的數學著作，但是，它作為古代重要典籍，尤其是作為儒家經典，流傳於世，對於中國古代數學具有重要的影響。研究自漢代《九章算術》至宋元時期以及明代的數學發展可以看出，那些流傳久遠的重要的數學著作中大都留存著《週易》影響的痕跡。

《周易》與數學的起源

標示中國古代數學體系所形成的《九章算術》，由246個與實際生活密切相關的應用題及其解法所構成，分為方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程式、勾股等九章，內容涉及初等數學中的算術、代數、幾何等，包括分數概念及其運算、比例問題的計算、開平方和開立方的運算、負數概念、正負數加減運算、聯立一次方程式的解法等。從邏輯的角度來看，《九章算術》與《週易》之間似乎沒有直接的關係。然而，魏晉時期的著名數學家劉徽在為《九章算術》作注時卻說：「徽幼習《九章》，長再詳覽，觀陰陽之割裂，總算術之根源。探賾之暇，遂悟其意。之根源”，從而明白《九章算術》之意，並為《九章算術》作註。顯然。在劉徽看來，《九章算術》與《週易》有著密切的關係。

在這基礎上，劉徽進一步認為，古代數學的產生可以追溯到包國者畫八卦。他在《九章算術注》的「序」中說：「昔在包塞氏始畫八卦，以通神明之德，以類萬物之情，作九九之數，以合六爻之變。暨於黃帝，神而化之，引而伸之，於是建歷紀、協律呂，用稽道原，然後兩儀四象精微之氣可得而效焉。合六爻之變」而發明的，後來經由黃帝的進一步發展，以發揮《週易》「兩儀四象」的功效。

繼徽之後，古代數學家大都認同數學源自於《周易》的說法。宋朝時期著名數學家秦九韶的數學著作《數書九章》系統地總結和發展了高次方程式數值解法和一次同餘組解法，提出了相當完備的「正負開方術」和「大衍求一術”，達到了當時世界數學的最高水平。 ［３］(上集「秦九韶」)在論及數學的起源問題時，秦九韶說：「週教六藝，數實成之。學士大夫，所從來尚矣。…爰自河圖、爰自河圖、爰自河圖、爰洛書闓發秘奧，八卦、九疇錯綜複雜，極而至於大衍、皇極之用，而人事之變無不該，鬼神之情莫能隱矣。認為，數學的起源可以追溯到“河圖洛書”、“八卦九疇”，仍然把數學的起源歸於《週易》。

數學的產生是否真的源於《周易》，伏羲是否“作九九之數”，這是需要用歷史事實來證明的問題。劉徽簡單地斷定伏羲作九九之數，很容易使我們聯想到《易傳》中把遠古時期的許多技術發明，包括魚網、耒耜、市場、船、車、門、杵臼、弧矢、宮室、棺槨、結繩記事等11項，看作是當時聖人效法卦象而作；其中最早的是包袱氏「作結繩而為罔罟，以佃以漁，蓋取諸離」［ ２］（《係辭下傳》）。由此可見，劉徽所謂伏羲作九九之數的觀點很可能是受到《易傳》的影響。

元朝時期著名數學家朱世傑的《四元玉鑑》論述了多元高次方程組的求解和高階等差級數等方面的問題，被美國科學史家喬治· 薩頓（G. Sarton）稱為“中國數學著作中最重要的一部，同時也是中世紀最傑出的數學著作之一」［５］。書的「前序」由他的好友莫若所作，其中說道：「數一而已。一者萬物之所從始，故易一太極也。一而二，二而四，四而八，生生不窮者，豈非自然而然之數耶？包括三才，旁通萬有。

明朝末期的數學家程大位所撰的《算法統宗》是珠算著作，流傳久遠。書的「首篇」有：總說、河圖、洛書、伏羲則圖作易圖、洛書釋數、九宮八卦圖、洛書易換數、黃鐘萬事根本圖。其中「總說」說：「數何肇？其肇自圖、書乎！伏羲得之以畫卦，大禹得之以序疇，列聖得之以開物成務。凡天官、地員、律歷、兵賦以及纖悉杪忽，莫不有數，則莫不本於《易》、《範》。雲。他還在「書《直指演算法統宗》後」說：「數居六藝之一，其來尚矣，蓋自宓戲宰世，龍馬負圖，而數肇端。軒後紀歷，隸首作算，而法始衍。